Exercice de spécialité sur les colonnes d'air

On modélise la partie d'un tuyau d'orgue qui se trouve au dessus du biseau par un tube ouvert à ses deux extrémités. Les tranches de la colonne d'air contenue dans le tube vibrent parallèlement à l'axe du tube. Dans le modèle proposé, il y a toujours un ventre de vibration à chaque extrémité du tube. Le tube a la longueur L.
1) Représenter l'élongation maximale du déplacement des tranches d'air le long de l'axe du tube pour le mode fondamental.
2) Faire la même chose pour le deuxième et le troisième harmonique.
3) Par analogie avec la corde, donner la fréquence de ces 2 harmoniques en fonction de la fréquence f1 du mode fondamental.
4) Pour un tube de longueur L = 132,8cm, la fréquence du mode fondamental est de 128 Hz.
a) On considère un tube de longueur L /2. Justifier que le mode fondamental de ce tube a la même fréquence que le deuxième harmonique du tube de longueur L. Quelle est cette fréquence ?
b) Quelle est alors la fréquence du fondamental pour un tube de longueur L/3 ?
c) Généraliser les 2 résultats précédents.
CORRECTION :

Remarque : c'est bien entendu nf1 pour L/n

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